如图.已知抛物线y=-x2+2x+3的顶点为M.且经过点N(2.3).与x轴交于两点.与y轴交于点C．(1)填空:点A的坐标是.点C的坐标是(0.3).顶点M的坐标是(1.4),(2)若直线y=kx+t经过C.M两点.且与x轴交于点D.试说明四边形CDAN是平行四边形,(3)直线y=mx+2与抛物线交于T.Q两点.是否存在这样的实数m.使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点?若存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

6．

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3的顶点为M，且经过点N（2.3），与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）填空：点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），顶点M的坐标是（1，4）；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试说明四边形CDAN是平行四边形；
（3）直线y=mx+2与抛物线交于T、Q两点，是否存在这样的实数m，使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用配方法求出二次函数顶点坐标，再根据抛物线解析式求点A、B、C的坐标；
（2）根据M、C两点坐标求直线y=kx+t解析式，得出D点坐标，求线段AD，由C、N两点坐标可知CN∥x轴，再求CN，证明CN与AD平行且相等，判断四边形CDAN是平行四边形；
（3）存在．如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，联立直线TQ解析式与抛物线解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系，当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，利用互余关系可证△TOF∽△QOG，利用相似比得出线段关系，结合x₁，y₁，x₂，y₂之间的关系求m的值．

解答解：（1）∵抛物线解析式为y=-1（x-1）²+4，
∴顶点M的坐标是：（1，4），
y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，则C（0，3），
令y=0，得x=-1或3，
则A（-1，0），B（3，0）；
故答案为：（-1，0），（0，3），（1，4）；

（2）四边形CDAN是平行四边形．
理由：将C（0，3），M（1，4），代入直线y=kx+t中，得$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{k+t=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$，
直线CM解析式为：y=x+3，
则D（-3，0），
∵C（0，3），N（2，3），
∴CN∥x轴，且CN=2-0=2，
又∵A（-1，0），D（-3，0），
∴AD=-1-（-3）=2，
∴四边形CDAN是平行四边形；

（3）存在．
如图设T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分别过T、Q作TF⊥y轴，QG⊥x轴，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+2x+3}\\{y=mx+2}\end{array}\right.$，
解得：x²+（m-2）x-1=0，
则x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
当以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点时，∠TOQ=90°，
则∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
则∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
所以，△TOF∽△QOG，
则$\frac{TF}{QG}$=$\frac{OF}{OG}$，
即$\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}$，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得：m=$\frac{2±\sqrt{13}}{3}$．

点评本题考查了二次函数的综合运用，以及利用解析式求抛物线与坐标轴的交点、平行四边形的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确得出△TOF∽△QOG是解题关键．

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