Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点B（-2

2

，0），A（m，0）（-

2

＜m＜0），以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连接BE与AD相交于点F．
（1）求证：BF=DO；
（2）设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G．若G是△BDO的外心，试求经过B、F、O三点的抛物线的解析表达式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可通过全等三角形来证简单的线段相等，三角形ABF和ADO中，根据圆周角定理可得出∠ABF=∠ADO，已知了一组直角和AB=AD，因此两三角形全等，即可得出BF=OD的结论．
（2）如果G是三角形BDO的外心，根据三角形外心定义可知BE必垂直平分OD，因此三角形BOD是等腰三角形．在等腰直角三角形ABD中，BD=BO=2

2

，AB=OB-OA=2

2

+m，因此可根据AB、BD的比例关系求出m的值，即可得出OA的长，而在（1）得出的全等三角形中，可得出OA=FG，据此可求出F点坐标．已知了B、F、O三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）在（2）中已经证得BE是∠OBD的角平分线，因此P点必为直线BD与抛物线的交点，先求出直线BD的解析式，然后联立抛物线的解析式可得出P点坐标．

解答：（1）证明：在△ABF和△ADO中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠DAO=90°．
又∵∠ABF=∠ADO，
∴△ABF≌△ADO，
∴BF=DO．

（2）解：由（1），有△ABF≌△ADO，
∵AO=AF=m．
∴点F（m，m）．
∵G是△BDO的外心，
∴点G在DO的垂直平分线上．
∴点B也在DO的垂直平分线上．
∴△DBO为等腰三角形，
∵AB=AD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BO=BD=

2

AB．
而|BO|=2

2

，|AB|=|-2

2

-m|=2

2

+m，
∴2

2

=

2

（2

2

+m），
∴m=2-2

2

．
∴F（2-2

2

，2-2

2

）．
设经过B，F，O三点的抛物线的解析表达式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵抛物线过点O（0，0），
∴c=0．
∴y=ax²+bx． ①
把点B（-2

2

，0），点F（2-2

2

，2-2

2

）的坐标代入①中，
得

0=(-2 2 )2a+(-2 2 )b 2-2 2 =(2-2 2 )2a+(2-2 2 )b

即

-2 2 a+b=0 (2-2 2 )a+b=1

解得

a= 1 2 b= 2

∴抛物线的解析表达式为y=

1

2

x²+

2

x．②

（3）解：假定在抛物线上存在一点P，使点P关于直线BE的对称点P'在x轴上．
∵BE是∠OBD的平分线，
∴x轴上的点P'关于直线BE的对称点P必在直线BD上，
即点P是抛物线与直线BD的交点．
设直线BD的解析表达式为y=kx+b，并设直线BD与y轴交于点Q，则由△BOQ是等腰直角三角形．
∴|OQ|=|OB|．
∴Q（0，-2

2

）．
把点B（-2

2

，0），点Q（0，-2

2

）代入y=kx+b中，
得

0=-2 2 k+b -2 2 =b

∴

k=-1 b=-2 2

∴直线BD的解析表达式为y=-x-2

2

．
设点P（x₀，y₀），则有y₀=-x₀-2

2

． ③
把③代入②，得

1

2

x₀²+

2

x₀=-x₀-2

2

，
∴

1

2

x₀²+（

2

+1）x₀+2

2

=0，
即x₀²+2（

2

+1）x₀+4

2

=0．
∴（x₀+2

2

）（x₀+2）=0．
解得x₀=-2

2

或x₀=-2．
当x₀=-2

2

时，y=-x₀-2

2

=2

2

-2

2

=0；
当x₀=-2时，y₀=-x₀-2

2

=2-2

2

．
∴在抛物线上存在点P₁（-2

2

，0），P₂（-2，2-2

2

），它们关于直线BE的对称点都在x轴上．

点评：本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难．