Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5，O是AB上的点，以O为圆心，OB为半径作⊙O．
（1）当OB=2.5时，⊙O交AC于点D，求CD的长；
（2）当OB=2.4时，AC与⊙O的位置关系如何？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先根据勾股定理求出BC的长，再根据切割线定理求出CD的长；
（2）作出辅助线OM，根据△AOM∽△ACB，利用相似三角形的性质求出OM的长，根据切线的判定定理即可证明．

解答：解：（1）在Rt△ABC中；
∵BC²=AC²-AB²=13²-5²=144，
∴BC=12（1分）；
又∵∠B=90°，OB是半径，AB=5，OB=2.5，
∴BC是⊙O的切线，点A在⊙O上，
∴根据切割线定理有BC²=CD•AC，
即有CD=

BC2

AC

=

144

13

，（3分）
故CD=

144

13

；

（2）当OB=2.4时，AC是⊙O的切线．（4分），
证明如下：过O作OM⊥AC于M，
则△AOM∽△ACB，
∴

OM

CB

=

AO

AC

，OM=

CB•AO

AC

=

12×2.6

13

=2.4，（6分）
即O到AC的距离等于⊙O的半径，
∴当⊙O的半径为2.4时，AC是⊙O的切线．（7分）

点评：此题综合考查了勾股定理、切线的判定定理等内容，是一道基础性题目．