Question

3．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别为3和2，∠A=60°，则图中阴影部分的面积是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 方法一：过点E作EQ⊥AD于点Q，记BC与DE交点为P，先证△BPE∽△ADE，从而得BP=$\frac{6}{5}$，继而知PG的长，在Rt△AQE中根据QE=AEsinA求得QE的长，最后由阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×PG×EQ可得答案；
方法二：连接BD，过点D作DQ⊥EG，交EG延长线于点Q，作BP⊥GE，利用菱形的性质证BD∥GE得DQ=BP，从而由S_阴影=$\frac{1}{2}$GE•DQ=$\frac{1}{2}$GE•BP=S_△BGE可得答案．

解答 解：方法一：过点E作EQ⊥AD于点Q，记BC与DE交点为P，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BPE∽△ADE，
∴$\frac{BP}{AD}$=$\frac{EB}{EA}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得：BP=$\frac{6}{5}$，
∴PG=BG-BP=2-$\frac{6}{5}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△AQE中，∵∠A=60°，
∴QE=AEsinA=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×PG×EQ=$\sqrt{3}$，

方法二：如图2，连接BD，过点D作DQ⊥EG，交EG延长线于点Q，作BP⊥GE，

∵∠A=60°，且四边形ABCD和四边形BEFG均为菱形，
∴∠DBA=∠GEB=60°，
∴BD∥GE，
∴DQ=BP，
∵BE=BG=2、∠GBE=∠A=60°，
∴△BGE为等边三角形，
则S_阴影=$\frac{1}{2}$GE•DQ=$\frac{1}{2}$GE•BP=S_△BGE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，求得DN和BH的长是解题的关键．