Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）.

【解析】

（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB=，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，

∴ ，∴ CP=AD=4

设OP=x，则CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=FB，∴EF=EQ+QF=（PQ+QB）=PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB=，∴EF=PB=2，

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．