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如图,正方形ABCD中,点E是AD的中点,点P是AB上的动点,PE的延长线与CD的延长线交于点Q,过点E作EF⊥PQ交BC的延长线于点F.给出下列结论:
①△APE≌△DQE;
②点P在AB上总存在某个位置,使得△PQF为等边三角形;
③若tan∠AEP=
2
3
,则
S△PBF
S△APE
=
14
3

其中正确的是(  )
A.①B.①③C.②③D.①②③

①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=QD,∠A=∠B=90°,
∵E为AD中点,
∴AE=ED.
在△AEP和△DFQ中
∠A=∠B
AE=DE
∠AEP=∠DEQ

∴△AEP≌△DFQ,故①正确;
②作EG⊥CD于G,EM⊥BC于M,
∴∠PGQ=∠EMF=90°.
∵EF⊥PQ,
∴∠PEF=90°,
即∠PEH+∠HEF=90°,
∵∠HPE+∠HEP=90°,
∴∠HPE=∠HEF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴PG=EM.
在△EFM和△PQG中
∠PGQ=∠EMF
PG=ME
∠HPE=∠HEF

∴△EFM≌△PQG,
∴EF=PQ,
∴在Rt△PEF中,PF>EF,
∴PF>PQ,
∴△PQF不能为等边三角形,故②错误;
③∵△AEP≌△DFQ,
∴AE=ED,
∵tan∠AEP=
2
3
=
AP
AE
,设AP=2a,AE=3a,
∴ED=3a.
∴AD=6a.
∵∠AEP+∠DEF=90°,∠DEF+∠DRE=90°,
∴tan∠DRE=
2
3
=
DE
DR

∴DR=4.5a,
∴CR=1.5a.
∵∠CRF=∠DRE,
∴tan∠ERF=
2
3
=
CF
CR

∴CF=a.
∴BF=7a,BP=4a,
∴S△APE=
1
2
(2a.3a)=3a,S△PBF=
1
2
(4a.7a)=14a,
S△PBF
S△APE
=
14
3
,故③正确.
故选B.
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2
3
6
,则∠ABE的度数______度.

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(2)如图②,若点P在DC的延长线上,其余条件不变,则BE,DF,EF有怎样的数量关系______(不用证明)
(3)如图③,若点P在CD的延长线上,其余条件不变,画出图形,写出此时BE,DF,EF之间的数量关系,并证明你的结论.

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