Question

【题目】某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：

“已知正方形AD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若，则EG=FH”．

经过思考，大家给出了以下两个方案：

（甲)过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；

（乙)过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；

（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明(如图1)

（2）如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图2），试求EG的长度．

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析；（2）．

【解析】

（1）无论选甲还是选乙都是通过构建全等三角形来求解．甲中，通过证△AMB≌△BNC来得出所求的结论．乙中，通过证△AMB≌△ADN来得出结论；

（2）按（1）的思路也要通过构建全等三角形来求解，可过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，将△AND绕点A旋转到△APB，不难得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的长可在直角三角形ABM中根据AB和AM（即HF的长）求出．如果设DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的长，进而可在直角三角形AND中求出AN即EG的长．

（1）选甲：证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N

∴AM=HF，BN=EG

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，

∵EG⊥FH

∴AM⊥BN

∴∠BAM+∠ABN=90°

∵∠CBN+∠ABN=90°

∴∠BAM=∠CBN

在△ABM和△CBN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN

∴△ABM≌△CBN，

∴AM=BN

即EG=FH；

选乙：证明：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N

∴AM=HF，AN=EG

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，

∵EG⊥FH

∴∠NAM=90°

∴∠BAM=∠DAN

在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN

即EG=FH；

（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交CD于点N，

∵AB=1，AM=FH=

∴在Rt△ABM中，BM=

将△AND绕点A旋转到△APB，

∵EG与FH的夹角为45°，

∴∠MAN=45°，

∴∠DAN+∠MAB=45°，

即∠PAM=∠MAN=45°，

从而△APM≌△ANM，

∴PM=NM，

设DN=x，则NC=1-x，NM=PM=+x

在Rt△CMN中，（+x）2=+（1-x）2，

解得x=，

∴EG=AN=，

答：EG的长为．