Question

（2005•枣庄）如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）解题的关键是作辅助线ME、MN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理解答．
（2）根据（1）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出．
解答：解：（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²．
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-x²．（5分）
所以梯形ADNM的面积S=×AD=×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-x²）+x
=-x²+x+2
即所求关系式为s=-x²+x+2．（8分）

（2）s=-x²+x+2=-（x²-2x+1）+=-（x-1）²+
故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．
点评：此题的综合性比较强，涉及面较广，涉及到正方形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理的运用，在解答此题时要连接ME，过N点作AB的垂线再求解．