Question

已知直线y=-2x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC=2．
（1）点P在直线y=-2x-4上，△PAC是以AC为底的等腰三角形，
①求点P的坐标和直线CP的解析式；
②请利用以上的一次函数解析式，求不等式-x-2＞x+4的解集．
（2）若点M（x，y）是射线AB上的一个动点，在点M的运动过程中，试写出△BCM的面积S与x的函数关系式，并画出函数图象．

Answer 1

分析：（1）①对于一次函数y=-2x-4，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，再由AC为2，且C在x轴的负半轴上求出C的坐标，三角形PAC是以AC为底边的等腰三角形得到P的横坐标为-3，代入直线方程求出纵坐标，即可确定出P的坐标，设直线CP解析式为y=kx+b，将P与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线CP的解析式；
②将所求不等式变形，利用图象即可求出解集；
（2）分两种情况考虑：当M在线段AB上时，三角形BCM的面积=三角形ABC面积-三角形ACM的面积，表示出S与X关系式即可；当M在线段AB延长线上时，三角形BCM的面积-三角形ACM面积-三角形ABC面积，表示出S与x关系式即可，并画出相应的图象，如图所示．

解答：解：（1）∵一次函数y=-2x-4与x、y轴交于A、B两点，
∴令x=0求出y=-4；令y=0求出x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-4），
∵AC=2，点C在x轴的负半轴上，
∴C（-4，0），
过P作PQ⊥x轴，
∵△PAC是以AC为底的等腰三角形，
∴Q为AC的中点，即P横坐标为-3，
将x=-3代入y=-2x-4中得：y=6-4=2，
∴P（-3，2），
设直线PC解析式为y=kx+b，
将P与C坐标代入得：

-4k+b=0 -3k+b=2

，
解得：

k=2 b=8

，
∴直线PC的解析式为y=2x+8；

（2）由-x-2＞x+4，可得-2x-4＞2x+8，
令y₁=-2x-4，y₂=2x+8，
当y₁＞y₂时，由图象可知x＜-3，
故不等式-x-2＞x+4的解集是x＜-3；

（3）当点M在线段AB上时，如图1所示，
S=S_△ABC-S_△ACM=

1

2

×2×4-

1

2

×2×（2x+4）=

1

2

×2×（4-2x-4）=-2x（-2≤x＜0）；  
当点M在线段AB的延长线上时，如图2所示，S=S_△ACM-S_△ABC=2x（x＞0），
综上，S=

-2x，(-2≤x＜0) 2x，(x＞0)

，
作出图象，如图所示：

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道中档题．