Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以点O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．
（Ⅰ）如图①，求证：直线AC是⊙O的切线
（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求BD与OC之间的数量关系．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质和技术性的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数，求出∠BAO，求出∠OAC=90°，根据切线的判定求出即可；
（2）连接AE，求出∠AEB的度数，根据平行线求出∠DAO，根据圆内接四边形性质求出∠D，根据四边形的内角和定理求出∠DAO，根据平行四边形的判定得出?BOAD，则BD=AO=

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2

OC．

解答：（1）证明：如图①，∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=

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2

（180°-∠BAC）=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴∠OAC=120°-30°=90°，
即OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）证明：如图②，连接AE．
由（1）知，OA⊥AC，∠C=30°，
∴AO=

1

2

OC
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，
∴由圆周角定理得：∠AEB=

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2

∠AOB=60°，
∵D、B、E、A四点共圆，
∴∠D+∠AEB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA=180°，
∴∠DAO=60°，
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°，
即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，
∴四边形BOAD是平行四边形，
∵BD=AO=

1

2

OC，即BD=

1

2

OC．

点评：本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、圆周角定理、圆内接四边形，本题主要考查了学生的推理能力，是一道比较好的题目．