Question

5．如图，图中两个正方形的边长分别是a，b．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）求图中△ABC的面积；
（3）图中△ABC与阴影部分的面积是否相等，为什么？

Answer 1

分析 本题可先根据三角形的相似求出BD的长，从而在正方形中得出CD的长，然后利用三角形的面积计算公式（S=$\frac{1}{2}$×底×高）得出所求阴影部分的面积．本题的阴影面积可以看做两部分（△ACD和△CDF）的和，分别计算这两部分，然后求和即为所求的阴影面积．

解答 解：如图所示，
在边长分别为a，b的两个正方形中，阴影部分的面积为S=S_△ACD+S_△CDF，
∵BD∥EF，
∴△ABD∽△AEH，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{EF}$，
又AB=BC=a，BE=EF=b，
所以AE=a+b，
即$\frac{a}{a+b}=\frac{BD}{b}$，
解得：BD=$\frac{ab}{a+b}$
则CD=BC-BD=a-$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{{a}^{2}}{a+b}$=$\frac{{a}^{3}}{2（a+b）}$，
S_△CDF=$\frac{1}{2}$×FG×CD=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{{a}^{2}}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}b}{2（a+b）}$，
所以阴影部分的面积为S=$\frac{{a}^{3}}{2（a+b）}$+$\frac{{a}^{2}b}{2（a+b）}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$；

（2）△ABC的面积=大正方形面积的一半=$\frac{{a}^{2}}{2}$；

（3）△ABC与阴影部分的面积相等，
由（1）求得阴影部分的面积为S=$\frac{{a}^{2}}{2}$；
由（2）求得△ABC的面积=$\frac{{a}^{2}}{2}$；
∵它们的面积都等于$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴△ABC与阴影部分的面积相等．

点评 本题综合考查了列代数式、代数式求值和三角形面积的计算等知识，做这类题时一定要把图画出来，利用数形结合的思想解题．