【题目】如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与点A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E.
(1)求证:PE=PB;
(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由;
(3)用等式表示线段PC,PA,CE之间的数量关系.
【答案】(1)见解析;(2)在P点运动的过程中,PF的长度不发生变化.PF的长为定值;(3).理由见解析.
【解析】
(1)做辅助线,构建全等三角形,根据ASA证明即可求解.
(2)如图,连接OB,通过证明,得到PF=OB,则PF为定值是.
(3)根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形,得,,整理可得结论.
(1)证明:如图①,过点P作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N.
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°,
∴∠MPB+∠EPN=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=90°.
∵AD∥MN,
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90,
∵∠MPB+∠MBP=90°,
∴∠EPN=∠MBP.
在Rt△PNC中,∠PCN=45°,
∴△PNC是等腰直角三角形,
∴PN=CN,
∴BM=CN=PN,
∴△BMP≌△PNE(ASA),
∴PB=PE.
(2)解:在P点运动的过程中,PF的长度不发生变化.
理由:如图2,连接OB.
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,
∴OB⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∴∠AOB=∠EFP=90°,
∴∠OBP+∠BPO=90°.
∴∠BPE=90°,
∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE.
由(1)得PB=PE,
∴△OBP≌△FPE(AAS),
∴PF=OB.
∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,∴.
∴PF的长为定值.
(3)解:.
理由:如图1,∵∠BAC=45°,
∴△AMP是等腰直角三角形,
∴.
由(1)知PM=NE,
∴.
∵△PCN是等腰直角三角形,
∴.
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【题目】某校为了庆祝建国七十周年,决定举办一台文艺晚会,为了了解学生最喜爱的节目形式,随机抽取了部分学生进行调查,规定每人从“歌曲”,“舞蹈”,“小品”,“相声”和“其它”五个选项中选择一个,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表,请根据图中信息,解答下列题:
最喜爱的节目 | 人数 |
歌曲 | 15 |
舞蹈 | a |
小品 | 12 |
相声 | 10 |
其它 | b |
(1)在此次调查中,该校一共调查了 名学生;
(2)a= ;b= ;
(3)在扇形计图中,计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数;
(4)若该校共有1200名学生,请你估计最喜爱“相声”的学生的人数.
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【题目】某地为了了解2020年在疫情中上网课的感受,组织教师通过问卷和座谈等形式,随机抽取某城区一些初中学生进行调查,并将调查的普遍感受分为四大类:A.提高自律能力;B.战亲子关系;C.提升信息素养;D.教师敬业辛苦,并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了__________名初中学生;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数,并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该城区1000名初中学生中有多少人的感受是“教师敬业辛苦”?
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=4,CD=1,BC=4.在边BC上取一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似,甲认为这样的点P只存在1个,乙认为这样的点P存在不止1个,则( )
A.甲的说法正确B.乙的说法正确
C.甲、乙的说法都正确D.甲、乙的说法都不正确
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上,顶点的坐标为.点是边上的一个动点(不与、重合),反比例函数 的图象经过点且与边交于点,连接.
(1)当点是边的中点时,求反比例函数的表达式
(2)在点的运动过程中,试证明:是一个定值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC.
(1)求证:AC平分∠DAE;
(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半径;②求FN的长.
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【题目】如图,某地有甲、乙两栋建筑物,小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为37°,走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为53°,已知AB=6m,DE=10m.求乙楼的高度AC的长.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,精确到0.1m)
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