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(2012•东营)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=
4
x
的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正确的结论是(  )
分析:设D(x,
4
x
),得出F(x,0),根据三角形的面积公式求出△DEF的面积,同法求出△CEF的面积,即可判断①;根据面积相等,推出边EF上的高相等,推出CD∥EF,即可证出△AOB∽△FOE,可判断②;算出C、D点坐标,可得到DF=CE,再证出∠DCE=∠FDA=45°,根据全等三角形的判定判断③即可;证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF,可推出BD=AC,判断④即可.
解答:解:①设D(x,
4
x
),则F(x,0),
由图象可知x>0,
∴△DEF的面积是:
1
2
×|
4
x
|×|x|=2,
设C(a,
4
a
),则E(0,
4
a
),
由图象可知:
4
a
<0,a>0,
△CEF的面积是:
1
2
×|a|×|
4
a
|=2,
∴△CEF的面积=△DEF的面积,
故①正确;

②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,
故EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正确;

③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=
4
x
的图象的交点,
∴x+3=
4
x

解得:x=-4或1,
经检验:x=-4或1都是原分式方程的解,
∴D(1,4),C(-4,-1),
∴DF=4,CE=4,
∵一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,
∴A(-3,0),B(0,3),
∴∠ABO=∠BAO=45°,
∵DF∥BO,AO∥CE,
∴∠BCE=∠BAO=45°,∠FDA=∠OBA=45°,
∴∠DCE=∠FDA=45°,
在△DCE和△CDF中
DF=CE
∠FDC=∠ECD
DC=CD

∴△DCE≌△CDF(SAS),
故③正确;

④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正确;
正确的有4个.
故选C.
点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形的面积,全等三角形的判定,相似三角形的判定,检查同学们综合运用定理进行推理的能力,关键是需要同学们牢固掌握课本知识.
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12
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4
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