Question

16．我们学习过|x+1|+|x-5|的最小值和|x-1|+|x-4|+|x-8|的最小值，请试试看下面的最小值
（1）求|x-1|+|x-2|+…+|x-2015|+|x-2016|的最小值及何时取到最小值．
（2）求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值及何时取到最小值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的性质，结合数轴的定义可得出代数式的中间部分为0时，代数式最小，进而求出答案；
（2）观察已知条件可以发现，|x-a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．

解答 解：（1）由题意可得：当x=1008时，则x-1008=0时，
代数式|x-1|+|x-2|+…+|x-2015|+|x-2016|的值最小，
最小值为：1007+1006+1005+…+1+0+1+…+1008
=1007×（1007+1）+1008
=1007×1008+1008
=1016064．

（2）由已知条件可知，|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到4的距离时，式子取得最小值．
∴当x=$\frac{1+4}{2}$=2.5时，式子取得最小值，
此时|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|
=|2.5-1|+2|2.5-2|+3|2.5-3|+4|2.5-4|
=1.5+1+1.5+6
=10．

点评 本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题，掌握|x-a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值．