Question

12．如图，抛物线y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）通过解方程$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0可得到A点和B点坐标；
（2）AC与直线x=-1交于点E，如图1，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，则可确定E（-1，$\frac{9}{4}$），利用三角形面积公式得到BD∥AC，再求出直线BD的解析式，则可确定D点坐标；然后利用点平移的坐标规律，把点D向上平移9个单位得到D′，则点D′到直线AC的距离等于点D到直线AC的距离，此时点D′满足条件，接着写出D′的坐标即可；
（3）易得以点A和以B点为直角顶点的△ABM一定有2个，则以M为直角顶点的△ABC只能有1个，利用圆周角定理得到点M在以AB为直径的圆上，于是可判断当直线l与以AB为直径的圆相切于M点时，在直线l上只有一个点M满足∠AMB=90°，如图2，抛物线的对称轴交AB于G点，连结GM，作MH⊥x轴于H，接着求出M点的坐标后利用待定系数法求出直线l的解析式，然后作点M关于x轴的对称点M′，如图2，利用同样方法可求出直线EM′的解析式即可．

解答 解：（1）∵当y=0时，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0）；

（2）抛物线的对称轴是直线x=-1，C点坐标为（0，3），AC与直线x=-1交于点E，如图1，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-4，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
当x=-1时，y=$\frac{3}{4}$x+3=，则E（-1，$\frac{9}{4}$），
∵△ACD的面积等于△ACB的面积，
∴BD∥AC，
∴直线BD的解析式可设为y=$\frac{3}{4}$x+m，
把B（2，0）代入得$\frac{3}{2}$+m=0，解得m=-$\frac{3}{2}$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
当x=-1时，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=-$\frac{9}{4}$，此时点D的坐标为（-1，-$\frac{9}{4}$）；
∵DE=$\frac{9}{4}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$，
把点D向上平移9个单位得到D′，则点D′到直线AC的距离等于点D到直线AC的距离，
此时D′的坐标为（-1，$\frac{27}{4}$），
∴S_△AD′C=S_△ADC=S_△ABC，
综上所述，满足条件的D点坐标为（-1，-$\frac{9}{4}$）或（-1，$\frac{27}{4}$）；

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即以点A或以B点为直角顶点的△ABM一定有2个，
∵以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个，
∴以M为直角顶点的△ABC只能有1个，
∵∠AMB=90°，
∴点M在以AB为直径的圆上，
∴当直线l与以AB为直径的圆相切于M点时，在直线l上只有一个点M满足∠AMB=90°，
如图2，抛物线的对称轴交AB于G点，连结GM，作MH⊥x轴于H，则GM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵EM为切线，
∴GM⊥ME，
在Rt△GME中，ME=$\sqrt{G{E}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵$\frac{1}{2}$MH•GE=$\frac{1}{2}$GM•ME，
∴MH=$\frac{12}{5}$，
在Rt△GMH中，GH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴OH=GH-OG=$\frac{4}{5}$，
∴M点的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
设直线l的解析式为y=px+q，
把M（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），E（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}p+q=\frac{12}{5}}\\{4p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{3}{4}}\\{q=3}\end{array}\right.$，
此时l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
作点M关于x轴的对称点M′，如图2，则M′（$\frac{4}{5}$，-$\frac{12}{5}$），
同样方法可求出直线EM′为y=$\frac{3}{4}$x-3，
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3或y=$\frac{3}{4}$x-3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、切线的性质和圆周角定理；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，能利用勾股定理计算线段的长；会利用分类讨论的思想解决数学问题．