Question

阅读下面的材料：
小明遇到一个问题：如图（1）,在□ABCD中,点E是边BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.如果,求的值.

他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H,则可以得到△BAF∽△HEF.
请你回答：（1）AB和EH的数量关系为    ,CG和EH的数量关系为    ,的值为    .
（2）如图（2）,在原题的其他条件不变的情况下,如果,那么的值为    （用含a的代数式表示）.

（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3）,在四边形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上一点,AE和BD相交于点F. 如果,那么的值为    （用含m,n的代数式表示）.

Answer 1

（1）3,2,;（2）;（3）mn．

试题分析：（1）过E点作平行线,构造相似三角形,利用相似三角形和中位线的性质,分别将各相关线段均统一用EH来表示,最后求得比值;
（2）先作EH∥AB交BG于点H,得出△EFH∽△AFB,即可得出,再根据AB=CD,表示出CD,根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG,即可表示出,从而得出的值;
（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,得出EH∥AB∥CD,根据EH∥CD,得出△BCD∽△BEH,再进一步证出△ABF∽△EHF,从而得出的值．
试题解析：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H,
则有△ABF∽△HEF,
∴,
∴AB=3EH．
∵平行四边形ABCD中,EH∥AB,
∴EH∥CD,
又∵E为BC中点,
∴EH为△BCG的中位线,
∴CG=2EH,
∴;
（2）作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB,
∴,
∴AB=aEH．
∵AB=CD,
∴CD=aEH．
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG．
∴,
∴CG=2EH．
∴;
（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则有EH∥AB∥CD,
∵EH∥CD,
∴△BCD∽△BEH,
∴,
∴CD=nEH．
又,
∴AB=mCD=mnEH．
∵EH∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
∴．