Question

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

Answer 1

（1）解：∵sina=且a为锐角，
∴a=60°，即∠BOA=∠MPN=60°．
∴初始状态时，△PON为等边三角形，
∴ON=OP=2，当PM旋转到PM'时，点N移动到N'，
∵∠OPM'=30°，∠BOA=∠M'PN'=60°，
∴∠M'N'P=30°．
在Rt△OPM'中，ON'=2PO=2×2=4，
∴NN'=ON'-ON=4-2=2，
∴点N移动的距离为2；

（2）证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；

（3）解：∵MN=ON-OM=y-x，
∴PN²=ON•MN=y（y-x）=y²-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN²=PD²+DN²=（）²+（y-1）²=y²-2y+4．
∴y²-xy=y²-2y+4，
即y=；

（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为，
∴S=•OM•PD=•x•x．
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数，
∴0＜S＜×2，即0＜S＜．
分析：（1）当PM旋转到PM′时，点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′-ON；
（2）已知两三角形两角对应相等，可利用AAA证相似
（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．
（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．