Question

9．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重叠，折痕为EF，若DF=3，∠FDC=30°，则△DEF的周长是9．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形及折叠图形特性可知，A′B′=AB=DC，∠A′=∠C=90°，由∠CDF+∠FDE=90°，∠A′B′E+∠FDE=90°，得出∠CDF=∠A′B′E，所以△B′A′E≌△DCF，得了ED=FD，由∠FDC=30°，得到∠EDF=60°，所以△DEF是等边三角形，△DEF的周长=3DF．

解答 解：由折叠特性及矩形纸片ABCD可知，A′B′=AB=DC，∠A′=∠C=90°，
∵∠CDF+∠FDE=90°，∠A′B′E+∠FDE=90°，
∴∠CDF=∠A′B′E，
在△B′A′E和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′=∠C=90°}\\{A′B′=DC}\\{∠A′B′E=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△B′A′E≌△DCF（ASA），
∴ED=FD，
∵∠FDC=30°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF的周长=3DF=9．
故答案为：9．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据三角形全等得出ED=EF是解题关键．