Question

【题目】如图，将直角三角板的直角边放在半圆的直径上，直角顶点与直径端点重合，已知，且的直角边与半圆的半径长均为2．现将直角三角板沿直径的方向向右平移，将三角板平移后的三角形记为．

（1）如图，当平移到斜边与半圆相切时，试求的长度（结果保留）；

（2）设平移距离为，在直角三角形平移过程中，折线（包括端点）与半圆弧共有3个交点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）且

【解析】

（1）先根据圆的切线的性质得出，再根据三角形的外角性质得出，然后根据弧长公式即可得；

（2）先找出三个临界位置：与重合时、与重合时、与半圆相切时，再分别解直角三角形即可得．

（1）如图1，切半圆于点，连接

则

在中，

的长度为；

（2）由平移的性质可得：

由题意，可分以下三个临界位置：

①如图2，与重合时

在中，

②如图3，与重合时

③由（1）知，与半圆相切时（如图1）

在中，

又

综上，且．