Question

1．如图，点E是正方形ABCD中BC边上任意一点，以E为端点作EF=AE交∠BCD的外角平分线于F，求证：AE⊥EF．
说明：若经过反复尝试没有找到怔明方怯，交换条件与结论，将“以E为端点作EF-AE交∠BCD 的外角平分线于F，求证：AE⊥EF”，改为“以E为端点作AE⊥EP交∠BCD的外角平分线于F．求证：EF=AE”，其他不变，完成证明．

Answer 1

分析 根据题意，通过作辅助线构造出直角三角形；借助正方形的性质及勾股定理等知识判断出线段BE=FG，进而可以判断出△ABE≌△EGF，问题即可解决．
延长BA到M，使AM=CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF．

解答 解：（1）如图1，过点F作FG⊥CG于点G

设正方形的边长为a，BE=x，FG=y；
∵四边形ABCD为正方形，且CF为外角平分线，
∴∠FCG=45°，故∠CFG=∠FCG=45°；
∴CG=FG=y，EG=a-x+y；
∵AE=EF，
∴AE²=EF²；
由勾股定理得：AE²=a²+x²，EF²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
在Rt△ABE与Rt△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{BE=FG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EGF（HL），
∴∠BAE=∠GEF；
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠GEF=90°，
∴∠AEF=180°-90°=90°，
故AE⊥EF．
证明：如图2，延长BA到M，使AM=CE，

∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠M=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

点评 此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解决本题的关键是作出辅助线．