Question

【题目】如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列三个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP．其中正确结论的序号是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】B

【解析】

连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，于是得到结论．

解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四边形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；

只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误；

故选：B．