Question

二次函数y=ax²+bx+c过点A、B两点（A左B右），且分布在y轴两侧，且OA、OB的长是方程x²-5x+4=0的两根，且OA＞OB，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求4a-2b+c的值；
（2）连接AC、BC，P是线段AB上一动点，且AP=m，过点P作PM∥AC，交BC于M，当m为何值时，S_△PCM的面积最大，并求出这个最大值；
（3）△ABC外接圆的面积是

 

．（直接写出答案，结果保留π）

Answer 1

分析：（1）根据OA、OB的长是方程x²-5x+4=0的两根，且OA＞OB，求出OA=4，OB=1，得到A（-4，0），B（1，0），设抛物线的解析式是y=a（x-1）（x+4），把C（0，4）代入求出a=-1，得到抛物线的解析式y=-x²-3x+4，即可求出答案；
（2）由PM∥AC，得到△PBM∽△ABC，求出

S△PBM

S△ABC

=(

5-m

5

)2，根据三角形的面积公式得到S_△ABC=10，求出S_△PBM=

2(m-5)2

5

，由S_△PCB=2（5-m），求出S_△PCM=10-2m-

2(m-5)2

5

配方成顶点式即可求出答案；
（3）设外接圆的圆心O（-

3

2

，y），根据OA=OC，求出y=

3

2

，根据勾股定理求出半径是

34

2

，根据圆的面积公式即可求出答案．

解答：（1）解：∵OA、OB的长是方程x²-5x+4=0的两根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=1，
∵二次函数y=ax²+bx+c过点A、B两点（A左B右），且分布在y轴两侧，
∴A（-4，0），B（1，0），设抛物线的解析式是y=a（x-1）（x+4），
把C（0，4）代入得：4=a（0-1）（0+4），
a=-1，
∴y=-（x-1）（x+4）=-x²-3x+4，
4a-2b+c=4×（-1）-2×（-3）+4=6，
答：4a-2b+c的值是6；

（2）解：∵AP=m，
∴PB=5-m，
∵PM∥AC，
∴△PBM∽△ABC，
∴

S△PBM

S△ABC

=(

5-m

5

)2，
又∵S_△ABC=10，
∴S_△PBM=

2(m-5)2

5

，
又∵S_△PCB=2（5-m），
∴S_△PCM=10-2m-

2(m-5)2

5

=-

2

5

(m-

5

2

)2+

5

2

，
∴当m=

5

2

时，△PCM的面积最大，最大值是

5

2

，
答：当m为

5

2

时，S_△PCM的面积最大，这个最大值是

5

2

．

（3）故答案为：

17

2

π．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，圆的面积，三角形的外接圆与外心等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，难度适中．