Question

13．毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n-1	3n-2	4n-3

请写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．

Answer 1

分析 首先看三角形数，根据前三层的几何点数分别是1、2、3，可得第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；然后看正方形数，根据前三层的几何点数分别是1=2×1-1、3=2×2-1、5=2×3-1，可得第六层的几何点数是2×6-1=11，第n层的几何点数是2n-1；再看五边形数，根据前三层的几何点数分别是1=3×1-2、2=3×2-2、3=3×3-2，可得第六层的几何点数是3×6-2=16，第n层的几何点数是3n-2；最后看六边形数，根据前三层的几何点数分别是1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，可得第六层的几何点数是4×6-3=21，第n层的几何点数是4n-3，据此解答即可．

解答 解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，
∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；
∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1-1、3=2×2-1、5=2×3-1，
∴第六层的几何点数是：2×6-1=11，第n层的几何点数是2n-1；
∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1-2、2=3×2-2、3=3×3-2，
∴第六层的几何点数是：3×6-2=16，第n层的几何点数是3n-2；
前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，
∴第六层的几何点数是：4×6-3=21，第n层的几何点数是4n-3．

名称及图形 几何点数 层数	三角形数	正方形数	五边形数	六边形数
第一层几何点数	1	1	1	1
第二层几何点数	2	3	4	5
第三层几何点数	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第六层几何点数	6	11	16	21
…	…	…	…	…
第n层几何点数	n	2n-1	3n-2	4n-3

故答案为：6、11、16、21、n、2n-1、3n-2、4n-3．

点评 此题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．