【题目】在△ABC和△DEF中,将△DEF按要求摆放,使得∠D的两条边分别经过点B和点C.
(1)当将△DEF如图1摆放时,若∠A=50°,∠E+∠F=100°,则∠D= ;∠ABD+∠ACD= .
(2)当将△DEF如图2摆放时,∠A=m°,∠E+∠F=n°,请求出∠ABD+∠ACD的度数(用含m、n的代数式表示).
(3)能否将△DEF摆放到某个位置,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.若能,求出∠A、∠E、∠F满足的关系?若不能,请说明理由?
【答案】(1)80°,230°;(2)180°-m°- n°;(3)能,
【解析】
(1)根据三角形内角和可求出∠D的度数,要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°;根据三角形内角和定理,∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=230°;
(2)要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)的度数.根据三角形内角和定理,∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=n°;根据三角形内角和定理得,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=(180-m)°,得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠BCD+∠CBD)=(180-m-n)°;
(3)若满足条件,根据题意可得∠ABD+∠ACD=∠CBD+∠BCD,可得n°=90°-m°,从而得出结论.
解:(1)∵∠E+∠F=100°,
∴∠D=180°-(∠E+∠F)=80°,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°,
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D,
在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°,
∴∠E+∠F=180°-∠D,
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=130°+100°=230°;
(2)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=m°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-m°,
在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°,
∴∠D=180°- (∠E+∠F)= 180°-n°,
在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°,
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=180°-(180°-n°)= n°,
∴∠ABD+∠ACD
=∠ABC-∠CBD+∠ACB-∠BCD
=(∠ABC+ ACB)-( ∠CBD+∠BCD)
=180°-m°- n°;
(3)能.
∵BD、CD平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD,∠ACD=∠BCD,
∴∠ABD+∠ACD=∠CBD+∠BCD,
∴180°-m°- n°=n°,
∴n°=90°-m°,
∴.
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【题目】如图1,AD∥BC,∠BAD的平分线交BC于点G,∠BCD=90°.
(1)求证:∠BAG=∠BGA;
(2)如图2,若∠ABG=50°,∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F.求∠AFC的度数;
(3)如图3,线段AG上有一点P,满足∠ABP=3∠PBG,过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M,使∠PBM=∠DCH,请直接写出的值.
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【题目】已知四边形ABCD,其中AD//BC,AB⊥BC,将DC沿DE折叠,C落于,交CB于G,且ABGD为长方形(如图1);再将纸片展开,将AD沿DF折叠,使A点落在DC上一点(如图2),在两次折叠过程中,两条折痕DE、DF所成的角为____________度.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点.
(1)求证:四边形DEFG是矩形;
(2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积.
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【题目】[阅读]
在平面直角坐标系中,以任意两点P( x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(,).
[运用]
(1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为 .
(2)在直角坐标系中,有A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.
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【题目】AB∥CD,C在 D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在的直线交于点 E.∠ADC=70°.
(1)求∠EDC 的度数;
(2)若∠ABC=30°,求∠BED 的度数;
(3)将线段 BC沿 DC方向移动,使得点 B在点 A的右侧,其他条件不变,若∠ABC=n°,请直接写出∠BED 的度数(用含 n的代数式表示).
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【题目】如图,点D、F在线段AB上,点E、G分别在线段BC和AC上,CD∥EF,∠1=∠2.
(1)判断DG与BC的位置关系,并说明理由;
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠3=85°,且∠DCE:∠DCG=9:10,AB与CD有怎样的位置关系?并说明理由.
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