Question

1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×{b}^{2}-{（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$…①（其中a、b、c为三角形的三边长，S为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$…②（其中p=$\frac{a+b+c}{2}$．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，9，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知公式将相关数据代入得出答案；
（2）将①式变形，进而推导出②即可．

解答 解：（1）∵三角形的三边长分别为5，7，9，
∴$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×{b}^{2}-{（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}[{5}^{2}×{7}^{2}-（\frac{{5}^{2}+{7}^{2}-{9}^{2}}{2}）^{2}]}$
=$\frac{21\sqrt{11}}{4}$；
∵p=$\frac{a+b+c}{2}$=$\frac{21}{2}$，
S=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$
=$\sqrt{\frac{21}{2}×（\frac{21}{2}-5）×（\frac{21}{2}-7）×（\frac{21}{2}-9）}$
=$\frac{21\sqrt{11}}{4}$；

（2）$S=\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}×{b}^{2}-{（\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）}^{2}]}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（ab+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）（ab-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（\frac{2ab}{2}+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）（\frac{2ab}{2}-\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{2}×\frac{{c}^{2}-（a-b）^{2}}{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{（a+b+c）（a+b-c）}{2}×\frac{（c+a-b）（c-a+b）}{2}}$
=$\sqrt{\frac{a+b+c}{2}×\frac{a+b-c}{2}×\frac{c+a-b}{2}×\frac{c-a+b}{2}}$，
∵p=$\frac{a+b+c}{2}$，
∴原式=$\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$．

点评 此题主要考查了二次根式的应用，正确将公式进行变形是解题关键．