Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=

BC

CD

；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=

AC

EC

，再由等量代换求得tan∠AEC=

BC

CD

；
②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）解答；
③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

解答：解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

①∴tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

；故本选项正确；
②∵S_△ABC=

1

2

a²，S_△CDE=

1

2

b²，S_梯形ABDE=

1

2

（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（a²+b²）≥ab（a=b时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本选项正确；
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故本选项正确；
③又MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选D．

点评：本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．