Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：

能

．（填“能”或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．①θ=

22.5

度； ②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，），求此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）①本题需先根据已知条件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判断出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，②从而此时a₂，a₃的值和出a_n．

解答：解：（1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去，
故答案为：能；
（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5，
故答案为22.5°；
②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₂A₃=1，AA₃=1+

2

，
又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a2=（

2

+1）a₂，
∴a_n=（

2

+1）^n-1．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与相似三角形的性质相结合是本题的关键．