分析 如图①由正方形ABCD的对角线交于点O,根据正方形的性质得到∠BOC=90°,又因为∠EOF=90°,得到∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,证得∠1=∠3,
由正方形的性质得到∠4=∠5=45°,BO=CO,证得△BOE≌△COF,得到对应边相等由等量代换得到结论;
(1)的解题思路与以上相同;
(2)由AB2+CA2=24,解得AB=2$\sqrt{2}$,根据S△BOF=6,求得BF,根据图①和图③分两种情况求解.
解答 证明:如图①,∵正方形ABCD的对角线交于点O,
∴∠BOC=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵∠4=∠5=45°,BO=CO,
在△BOE与△COF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠4=∠5}\end{array}\right.$,
∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
∴BE+BF=BF+CF=BC,
即BE+BF=BC;
(1)如图②,∵正方形ABCD的对角线交于点O,
∴∠BOC=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵OB=OC,∠OBE=∠OCF=135°,
在△BOE与△COF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$,
∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
∴BE=BF-BC;
(2)EF=2$\sqrt{26}$,10$\sqrt{2}$,
如图③,连接EF,
∵AB2+CA2=24,
又∵AC2=2AB2,
∴AB=2$\sqrt{2}$,
∵S△BOF=6,
∴BF=6$\sqrt{2}$,
由(1)证得AE=BF=6$\sqrt{2}$,
∴BE=8$\sqrt{2}$,
在RT△BEF中,
EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=10$\sqrt{2}$,
如图①EF=$\sqrt{{BF}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{26}$.
故答案为:10$\sqrt{2}$,2$\sqrt{26}$.
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理的应用,注意(2)中不要漏解.
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