Question

观察规律并填空（本题7分）
（1）(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

，
(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

，
(4+

1

4

)2=42+

 

+

1

42

；
（2）若(x+

1

x

)2=13，求x2+

1

x2

的值．

Answer 1

分析：观察这几个等式可以看出：都是利用完全平方公式来展开因式的；又因为括号内这两个数互为倒数，所以结果就等于这两个数的平方和加上2．
因此：（1）由(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

和(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

可以看出：所以(4+

1

4

)2=42+？+

1

42

中的横线上应该填2．
（2）由（1）中三个等式可以看出：(x+

1)

x

2=x²+2+

1

x2

；根据(x+

1

x

)2=13可以求出x2+

1

x2

的值．

解答：解：（1）由(2+

1

2

)2=22+2+

1

22

和(3+

1

3

)2=32+2+

1

32

得：(4+

1

4

)2=42+2+

1

42

．

（2）由（1）中等式可以得到规律：(x+

1

x

)2=x²+2+

1

x2

；
∵(x+

1

x

)2=13；
∴(x+

1

x

)2=x²+2+

1

x2

=13；
解得x2+

1

x2

=13-2=11．

点评：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式；如果这两个数互为倒数或负倒数时，结果就是两数的平方和，再加上或减去2了．