Question

19．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连接CE、AF，设CE、AF相交于点G，则S_{四边形ABGD}：S_{四边形ABCD}=2：3．

Answer 1

分析 连接CG，BD，设S_△BGE为S₁，S_△EGC为S₂，S_△GCF为S₃，S_△DGF为S₄，S_△BGC为S₅．依题意可得S₁+S₂+S₃=S₂+S₃+S₄，得出S₁=S₄．由同底等高的三角形的面积相等得到S_△ABF=S_△BEC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD，由三角形的面积和得出S₁+S₂+S₃=S₄+S₅．同理可得S₂+S₃+S₄=S₄+S₅，由等量代换可得S₁=S₂，S₃=S₄，推出S₁+S₂+S₃+S₄+2S₅=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，S₁+S₂+S₃+S₄=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$．即可求得结果．

解答 解：连接CG，BD，
设S_△BGE为S₁，S_△EGC为S₂，S_△GCF为S₃，S_△DGF为S₄，S_△BGC为S₅．
∵S_△BCF=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=S_△ECD，∴S₁+S₂+S₃=S₂+S₃+S₄，即S₁=S₄．
又∵S_△BCFS_△BFD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD，∴S₁+S₂+S₃=S₄+S₅
同理，S₂+S₃+S₄=S₄+S₅，而S₁=S₂，S₃=S₄．（等底同高）
∴S₁+S₂+S₃+S₄+2S₅=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD．
∴S₁+S₂+S₃+S₄=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$S_矩形ABCD
∴S_{四边形ABGD}：S_矩形ABCD=（3-1）：3=2：3，
故答案为：2：3．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及三角形面积的计算问题，应熟练掌握．