Question

【题目】某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米．

（1）如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
（2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
（3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线的解析式为y=ax2+c，

又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0），

∴0=256a+8，a=﹣ ．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+8（﹣16≤x≤16）

（2）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，

在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2

∴R2=（R﹣8）2+162，解得R=20

（3）解：①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16﹣4=12，

EF=y=3.5米；

②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，

OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20，

在Rt△OH F′中，H F′= ，

∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4（米）

∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米．

【解析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C（0，8）和点B（16，0），代入即可求出抛物线解析式；（2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．