Question

20．如图①，一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=x²的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．
（1）当m=-1，n=4时，k=3，b=4；
当m=-2，n=3时，k=1，b=6；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=-3，n＞3时，求$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{四边形AOED}}$的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为n=-2m；
当四边形AOED为正方形时，m=-1，n=2．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象上点的坐标特征，由当m=-1，n=4得A（-1，1），B（4，16），然后利用待定系数法求出直线AB的解析式即可得到k和b的值；当m=-2，n=3时，用同样的方法求解；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到A（m，m²），B（n，n²），把它们分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{km+b={m}^{2}}\\{kn+b={n}^{2}}\end{array}\right.$，然后解关于k、b的方程组即可得到k=m+n，b=-mn；
（3）①当m=-3时，A（-3，9），根据y轴对称的点的坐标特征得E（3，9），再由（2）的结论得k=m+n，b=-mn，则直线AB的解析式为y=（-3+n）x+3n，接着求出D（0，3n），C（$\frac{3n}{3-n}$，0），然后根据三角形面积公式可计算出$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{四边形AOED}}$的值；
②连结AE交OD于P，如图②，点A（m，m²）关于y轴的对称点E的坐标为（-m，m²），则OP=m²，由于k=m+n，b=-mn，则D（0，-mn）；若四边形AOED为菱形，根据菱形的性质OP=DP，即-mn=2m²，可解得n=-2m；若四边形AOED为正方形，根据正方形的性质得OP=AP=OP=PD，易得m=-1，n=2．

解答 解：（1）当x=-1时，y=x²=1，则A（-1，1）；当x=4时，y=x²=16，则B（4，16），
把A（-1，1）、B（4，16）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{4k+b=16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=4}\end{array}\right.$；
当x=-2时，y=x²=4，则A（-2，4）；当x=3时，y=x²=9，则B（3，9），
把A（-2，4）、B（3，9）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{3k+b=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$；
故答案为：3，4；1，6；
（2）k=m+n，b=-mn．理由如下：
把A（m，m²），B（n，n²）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{km+b={m}^{2}}\\{kn+b={n}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m+n}\\{b=-mn}\end{array}\right.$；
（3）①当m=-3时，A（-3，9），
∵点A关于y轴的对称点为点E，
∴E（3，9），
∵k=m+n，b=-mn，
∴k=-3+n，b=3n，
∴直线AB的解析式为y=（-3+n）x+3n，则D（0，3n），
当y=0时，（-3+n）x+3n=0，解得x=$\frac{3n}{3-n}$，则C（$\frac{3n}{3-n}$，0），
∴$\frac{{S}_{△ACO}}{{S}_{四边形AOED}}$=$\frac{\frac{1}{2}•9•\frac{3n}{n-3}}{\frac{1}{2}•（3+3）•3n}$=$\frac{3}{2n-6}$（n＞3）；
②连结AE交OD于P，如图②，
∵点A（m，m²）关于y轴的对称点为点E，
∴E（-m，m²），
∴OP=m²，
∵k=m+n，b=-mn，
∴D（0，-mn），
若四边形AOED为菱形，则OP=DP，即-mn=2m²，所以n=-2m；
若四边形AOED为正方形，则OP=AP，即-m=m²，解得m=-1，所以n=-2m=2．

点评 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和菱形、正方形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；记住三角形的面积公式．