Question

【题目】已知抛物线的顶点H（2，0），经过点A（1，1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，在线段OC（端点除外）上是否存在一点N，直线NA交抛物线于另一点B，满足BC＝BN？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，过点P（﹣3，0）作直线交抛物线于点F、G，FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，求PMPN的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+4．（2）（0，）．（3）25.

【解析】

（1）由点H的坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由点A的坐标利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，假设存在，设点N的坐标为（0，m）（0＜m＜4），过点B作BD⊥y轴，垂足为D，则点D的坐标为（0，2+），根据点N，A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可得出点B的坐标，由点B，D的纵坐标相等，可得出关于m的一元二次方程，解之取其大于0且小于4的值即可得出结论；

（3）设直线PF的解析式为y＝n（x+3）（n＞0），将其代入抛物线解析式中可求出点M，N的坐标，结合点P的坐标可得出PM、PN的长度，再将二者相乘即可得出求得．

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，

将A（1，1）代入y＝a（x﹣2）2，得：1＝a×（1﹣2）2，

解得：a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣4x+4．

（2）当x＝0时，y＝x2﹣4x+4＝4，

∴点C的坐标为（0，4）．

假设存在，设点N的坐标为（0，m）（0＜m＜4）．

在图1中，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，

∵BC＝BN，

∴CD＝ND，

∴点D的坐标为（0，2+）．

设直线AB的解析式为y＝kx+m（k≠0），

将A（1，1）代入y＝kx+m，得：1＝k+m，

解得：k＝1﹣m，

∴直线AB的解析式为y＝（1﹣m）x+m．

联立直线AB及抛物线的解析式成方程组，得：，

解得：，

∴点B的坐标为（4﹣m，m2﹣4m+4）．

∵BD⊥y轴，

∴2+＝m2﹣4m+4，即2m2﹣9m+4＝0，

解得：m1＝，m2＝4（舍去），

∴存在符合题意得点N，点N的坐标为（0，）．

（3）设直线PF的解析式为y＝n（x+3）（n＞0），

将y＝n（x+3）代入y＝x2﹣4x+4，整理得：x2﹣（4+n）x+4﹣3n＝0，

解得：x1＝，x2＝，

∴点M的坐标为（，0），点N的坐标为（，0），

∴PM＝﹣（﹣3）＝，

PN＝﹣（﹣3）＝，

∴PMPN＝×＝25．