Question

6．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=$\frac{1}{2}$（AC-AB）；
（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明AB=AD，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）结论：EF=$\frac{1}{2}$（AB-AC），先证明AB=AP，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AE⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴AB=AD，∵AE⊥BD，
∴BE=DE，∵BF=FC，
∴EF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}（AC-AD）$=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

（2）结论：EF=$\frac{1}{2}$（AB-AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．

∵AE⊥BP，
∴∠AEP=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∵∠BAE=∠PAE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴AB=AP，∵AE⊥BD，
∴BE=PE，∵BF=FC，
∴EF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（AP-AC）=$\frac{1}{2}$（AB-AC）．

点评 本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．