Question

如图，在直角坐标系中，以（a，0）为圆心的O′与x轴交于C、D两点，与y轴交于A、B两点，连接AC．
（1）点E在AB上，EA=EC，求证：AC²=AE•AB；
（2）在（1）的结论下，延长EC到F，连接FB，若FB=FE，试判断FB与⊙O′的位置关系，并说明理由；
（3）如果a=2，⊙O′的半径为4，求（2）中直线FB的解析式．

Answer 1

（1）证明：连接BC，∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∵AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=EC：AC，
∴AC²=AE•AB；

（2）解：连接O′B，BD，
∵FB=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
∵∠ODB=∠ABC，
∵∠ODB=∠O′BD，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
∴∠FBC=∠O′BD，
∵∠DBC=90°，
∴∠O′BF=90°，
∴FB与⊙O′相切；

（3）解：O′B==2，B（0，-2），
∵DC⊥AB，
∴O为AB的中点，
即AO=OB=2，
∴EA=EC=OA-OE，
设OE的长为x，则EC=2-x，
在Rt△OCE中4+x²=，x=，
过点F作FG⊥BE，
∵EB=OB+OE=2+=，且FB=FE，
∴GB=EB=，∴OG=OB=GB=，
∵OC∥FG，
∴=，即=，
解得FG=4，
∴F（-4，-），
直线PB的解析式为y=kx+b，将B（0，-2），F（-4，-）代入得y=-x-2．
分析：（1）欲证AC²=AE•AB，可以证明△ACE∽△ABC得出；
（2）判断FB与⊙O′的位置关系，可以连接O′B，证明∠O′BF=90°，得出FB与⊙O′相切；
（3）确定B，F两点的坐标，待定系数法求出直线FB的解析式．
点评：本题考查了相似三角形的性质，切线的判定，及用待定系数法求出直线的解析式，计算量大，望仔细做题．