Question

12．已知：∠AOB=90°，OA=OB=4，P、M、N分别是OB、OA、$\widehat{AB}$上的动点，且∠MPN=90°，PM：PN=3：2，求△PMN周长的最小值．

Answer 1

分析 如取PM中点K，连接OK、KN、ON．设PM=3k，PN=2k，求出OK、KN，根据OK+KN≥ON，列出不等式求出k的最小值即可解决问题．

解答 解：如图取PM中点K，连接OK、KN、ON．
设PM=3k，PN=2k，
在RT△PNK中，∵∠KPN=90°，PK=$\frac{3}{2}$k，PN=2k，
∴KN=$\sqrt{P{K}^{2}+P{N}^{2}}$=$\frac{5}{2}$k，
在RT△POM中，∵∠POM=90°，KM=KP，
∴OK=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{3}{2}$k，
∵OK+KN≥ON，
∴$\frac{3}{2}$k+$\frac{5}{2}$k≥4，
∴k≥1，
∴k=1时，△PMN周长最小，
此时PM=3，PN=2，MN=$\sqrt{P{M}^{2}+P{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∴△PMN周长最小值为5+$\sqrt{13}$．

点评 本题考查轴对称最小值问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是添加辅助线，把问题转化为不等式去思考问题，属于中考常考题型．