【题目】已知:△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若DF∥AB,则BD与CD有怎样的数量关系?并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2) BD=2CD证明见解析
【解析】
(1)连接OD.根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知:∠OAD=∠ODA;再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD=∠CAD;
(2)连接OF,根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC=60°,根据平行线的性质得出BD:CD=AF:CF,∠DFC=∠BAC=60°,根据解直角三角形即可求得结论.
(1)证明:连接OD,
∴OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∵BC为⊙O的切线,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∴∠CAD=∠ODA,
∴∠OAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC;
(2)连接OF,
∵DF∥AB,
∴∠OAD=∠ADF,
∵AD平分∠BAC,
∴∠ADF=∠OAF,
∵∠ADF=∠AOF,
∴∠AOF=∠OAF,
∵OA=OF,
∴∠OAF=∠OFA,
∴△AOF是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵∠ADF=∠DAF,
∴DF=AF,
∵DF∥AB,
∴BD:CD=AF:CF,∠DFC=∠BAC=60°,
∴=2,
∴BD=2CD.
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【题目】某市为了解旅游人数的变化情况,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量(单位:万人次)的数据并绘制了统计图如下:
根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是( )
A.2017年至2019年,年接待旅游量逐年增加
B.2017年至2019年,各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份
C.2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次
D.2017年至2019年,各年下半年(7月至12月)的月接待旅游量相对于上半年(1月至6月)波动性更小,变化比较平稳
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【题目】(1)求证:无论p为何值,方程(x-2)(x-3)-p2=0总有两个不相等的实数根.
(2)若方程(x-2)(x-3)-p2=0的两根为正整数,试求p的值.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,连接DE.
(1)如图1,当△ABC为锐角三角形时,
①依题意补全图形,猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明;
②用等式表示线段AE,CE,DE的数量关系,并证明;
(2)如图2,当∠ABC为钝角时,依题意补全图形并直接写出线段AE,CE,DE的数量关系.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC,BC分別与⊙O交于点D,E,则下列说法一定正确的是( )
A.连接BD,可知BD是△ABC的中线B.连接AE,可知AE是△ABC的高线
C.连接DE,可知D.连接DE,可知S△CDE:S△ABC=DE:AB
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【题目】如图,已知函数的图象与轴交于点A,与函数的图象交于C、D两点,以OC、OD为邻边作平行四边形OCED.下列结论中:①OC=OD;②若,则当时,;③若,则平行四边形OCED的面积为3;④若∠COD=45°,则.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE,下列四个结论:①AC=AD;② AB⊥EB;③BC=EC;④∠A=∠EBC;其中一定正确的是( )
A.②B.②③C.③④D.②③④
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【题目】如图,用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(矩形ABCD),墙长为22m,这个矩形的长AB=xm,菜园的面积为Sm2,且AB>AD.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若要围建的菜园为100m2时,求该莱园的长.
(3)当该菜园的长为多少m时,菜园的面积最大?最大面积是多少m2?
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【题目】已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,交⊙O于G,CF⊥AB于F,点C是弧BG的中点.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AF,BF(AF>BF)是一元二次方程x2﹣8x+12=0的两根,求CE和AG的长.
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