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【题目】已知:△ABC中∠ACB90°EAB上,以AE为直径的⊙OBC相切于D,与AC相交于F,连接AD

1)求证:AD平分∠BAC

2)若DFAB,则BDCD有怎样的数量关系?并证明你的结论.

【答案】(1)见解析;(2) BD2CD证明见解析

【解析】

1)连接OD.根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知:∠OAD=∠ODA;再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD=∠CAD

2)连接OF,根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC60°,根据平行线的性质得出BDCDAFCF,∠DFC=∠BAC60°,根据解直角三角形即可求得结论.

1)证明:连接OD

ODOA

∴∠OAD=∠ODA

BC为⊙O的切线,

∴∠ODB90°

∵∠C90°

∴∠ODB=∠C

ODAC

∴∠CAD=∠ODA

∴∠OAD=∠CAD

AD平分∠BAC

2)连接OF

DFAB

∴∠OAD=∠ADF

AD平分∠BAC

∴∠ADFOAF

∵∠ADFAOF

∴∠AOF=∠OAF

OAOF

∴∠OAF=∠OFA

∴△AOF是等边三角形,

∴∠BAC60°

∵∠ADF=∠DAF

DFAF

DFAB

BDCDAFCF,∠DFC=∠BAC60°

2

BD2CD

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