Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为底边BC上任意一点，E为AC上一点，且AE=AD．
（1）若∠BAD=30°，∠B=65°，求∠EDC的度数；
（2）请你给出一个关于∠BAD与∠CDE之间关系的猜想，并说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠EDC即可；
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
进而得出∠BAD=2∠CDE．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=90°-

1

2

∠BAC，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-

1

2

∠BAC+30°=120°-

1

2

∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD=∠BAC-30°，
∴∠ADE=∠AED=

1

2

（180°-∠DAC）=105°-

1

2

∠BAC，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=（120°-

1

2

∠BAC）-（105°-

1

2

∠BAC）=15°，

（2）∠BAD=2∠CDE．理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE．

点评：本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律．