【题目】如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其对称轴与抛物线相交于点M,与x轴相交于点N,点P是线段MN上的一个动点,连接CP,过点P作PE⊥CP交x轴于点E.
(1)求抛物线的顶点M的坐标;
(2)当点E与原点O的重合时,求点P的坐标;
(3)求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少?
【答案】(1)(1,-4).(2)当点E与原点O的重合时,点P的坐标为(1,)或(1,).(3)点E到抛物线对称轴的最大距离是4.
【解析】
(1)利用配方法将抛物线的解析式由一般式变形为顶点式,进而即可得出顶点M的坐标;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,过点C作CF⊥直线MN,垂足为点F,易证△PON∽△CPF,利用相似三角形的性质可得出关于PN长度的一元二次方程,解之即可得出PN的长,进而可得出点P的坐标;
(3)过点C作CF⊥直线MN,垂足为点F,设PN=m,分0<m<3,m=0或m=3,3<m≤4三种情况考虑:①当0<m<3时,由(2)可知:△PEN∽△CPF,利用相似三角形的性质可得出EN关于m的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题;②当m=0或3时,点E和点N重合,此时EN=0;③当3<m≤4时,易证△PCF∽△EPN,利用相似三角形的性质可得出EN关于m的函数关系式,利用二次函数的性质即可解决最值问题.综上,取EN的最大值即可得出结论.
解:(1)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点M的坐标为(1,-4).
(2)当x=0时,y=x2-2x-3=-3,
∴点C的坐标为(0,-3).
过点C作CF⊥直线MN,垂足为点F,如图1所示.
∵∠PON+∠OPN=90°,∠OPN+∠CPF=180°-∠CPO=90°,
∴∠PON=∠CPF.
又∵∠PNO=∠CFP=90°,
∴△PON∽△CPF,
∴=,即=,
∴PN=,
∴当点E与原点O的重合时,点P的坐标为(1,)或(1,).
(3)过点C作CF⊥直线MN,垂足为点F,设PN=m,分三种情况考虑,如图2所示.
①当0<m<3时,由(2)可知:△PEN∽△CPF,
∴=,即=m,
∴EN=-m2+3m=-(m-)2+.
∵-1<0,
∴当m=时,EN取得最大值,最大值为;
②当m=0或3时,点E和点N重合,此时EN=0;
③当3<m≤4时,∵∠PCF+∠CPF=90°,∠CPF+∠EPN=90°,
∴∠PCF=∠EPN.
又∵∠CFP=∠PNE=90°,
∴△PCF∽△EPN,
∴=,即=,
∴EN=m2-3m.
∵1>0,
∴当3<m≤4时,EN的值随m值的增大而增大,
∴当m=4时,EN取得最大值,最大值为4.
综上所述:点E到抛物线对称轴的最大距离是4.
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【题目】如图,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,B(4,2),过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)直接写出直线DE的解析式_________;
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象与直线MN有且只有一个公共点,求m的值.
(3)在分别过M,B的双曲线y=(x>0)上是否分别存在点F,G使得B,M,F,G构成平行四边形,若存在则求出F点坐标, 若不存在则说明理由.
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【题目】在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数和等于12,则为平局;若指针所指区域内两数和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一份内为止).
(1)请用列表的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果;
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.
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【题目】已知:四边形ABCD是平行四边形,点O是对角线AC、BD的交点,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC、AF.
(1)求证:DF=EB;(2)AF与图中哪条线段平行?请指出,并说明理由.
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【题目】如图,已知点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,作Rt△ABC,边BC在x轴上,点D为斜边AC的中点,连结DB并延长交y轴于点E,若△BCE的面积为4,则k=______.
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,P 是边 AB 上的动点(不与点 B 重合),将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折,得到△B'CP,连接 B'A,B'A 长度的最小值是 m,B'A 长度的最大值是 n,则 m+n 的值等于 ______.
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【题目】水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗,在条件基本相同的情况下,把两个品种的小西红柿秧苗各 300 株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性,进行了抽样调查,从甲、乙两个大棚各收集了 24 株秧苗上的小西红柿的个数,并对数据进行整理、描述和分析。
下面给出了部分信息:(说明:45 个以下为产量不合格,45 个及以上为产量合格,其中 45~65 个为产量良好,65~85 个为产量优秀)
a.补全下面乙组数据的频数分布直方图(数据分成 6 组: 25≤x<35,35≤x<45,45≤x<55,55≤x<65,65≤x<75,75≤x<85):
b.乙组数据在产量良好(45≤x<65)这两组的具体数据为: 46 46 47 47 48 48 55 57 57 57 58 61
c.数据的平均数、众数和方差如下表所示:
大棚 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 52.25 | 51 | 58 | 238 |
乙 | 52.25 | 57 | 210 |
(1)补全乙的频数分布直方图.
(2)写出表中的值.
(3)根据样本情况,估计乙大棚产量良好及以上的秧苗数为 株.
(4)根据抽样调查情况,可以推断出 大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求,写出理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性).
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x﹣1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数图象的一个交点为M(﹣2,m).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当y2>y1时,求x的取值范围;
(3)求点B到直线OM的距离.
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