Question

【题目】如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）将 “AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.

（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BD中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或（3）9s

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

（3）因为VQ＜VP，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP与△BPQ中，，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

则线段PC与线段PQ垂直.

（2）设点Q的运动速度x,

①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，

，

解得，

②若△ACP≌△BPQ，则AC=BQ，AP=BP，

解得，

综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等.

（3）因为VQ＜VP，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，

设经过x秒后P与Q第一次相遇，

∵AC=BD=9cm，C，D分别是AE，BD的中点；

∴EB=EA=18cm.

当VQ=1时，

依题意得3x=x+2×9，

解得x=9；

当VQ=时，

依题意得3x=x+2×9，

解得x=12.

故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.