Question

20．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过A作AH⊥y轴于H，OH=3，tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求△AHO的周长；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据tan∠AOH=$\frac{4}{3}$求出AH的长度，由勾股定理可求出OH的长度即可求出△AHO的周长．
（2）根据点A的坐标为（-4，3），点A在反比例函数的图象上，可求出k的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式中求出m的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出该一次函数的解析式．

解答 解：（1）∵AH⊥y轴于点H，
∴∠AHO=90°，
∴tan∠AOH=$\frac{4}{3}$，AH=4，
∴OH=3，
∴由勾股定理可求出OA=5，
∴△AHO的周长为3+4+5=12；

（2）由（1）可知：点A的坐标为（-4，3），
把（-4，3）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=-12，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{12}{x}$，
∵把B（m，-2）代入反比例函数y=-$\frac{12}{x}$中，可得m=6，
∴点B的坐标为（6，-2），
将A（-4，3）和B（6，-2）代入y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{3=-4a+b}\\{-2=6a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是求出点A与B的坐标，运用待定系数法即可得到函数解析式．