Question

【题目】已知如图：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD和等边三角形ACF，连结DE，DF．

（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝150°时，见解析；（3），见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；

（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；

（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF是菱形，此时AB＝AC．

解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，

∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，

∴∠ABC＝∠EBD，

在△ABC和△EBD中，

，

∴△ABC≌△EBD（SAS），

∴AC＝DE，

∵△ACF为等边三角形，

∴AC＝AF，

∴AF＝DE，

同理可证得△ACB≌△FCD，

∴AB＝DF，

而AB＝AE，

∴AE＝DF，

∴四边形DEAF是平行四边形；

（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．

理由如下：

由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，

∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠FAC＝60°

∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°

∴四边形DEAF是矩形；

（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．

理由如下：

由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，

∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，

∴AE＝AF，

∴四边形DEAF是菱形．

故答案为：AB＝AC．