Question

15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．
（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；
（2）当B′D=B′C时，求BF的长；
（3）求△CB′F周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，推出BF=BE，由AB=BC，即可证明CF=AE=3．
（2）如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．由△B′MD≌△B′CN，推出B′M=B′N=8，由AE=MG=3，推出GB′=5，在Rt△EGB′中，EG=$\sqrt{EB{′}^{2}-GB{′}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，由△EGB′∽△B′NF，推出$\frac{EG}{B′N}$=$\frac{EB′}{FB′}$，由此即可解决问题．
（3）如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，推出EC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{3}^{2}}$=5$\sqrt{17}$，由△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，所以欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，因为CB′+EB′≥EC，所以E、B′、C共线时，CB′的值最小．

解答 （1）证明：如图1中，

当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，
∴BF=BE，
∵AB=BC，
∴CF=AE=3．

（2）解：如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．

∵B′D=B′C，
∴∠B′DC=∠B′CD，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠B′DM=∠B′CN，
∵∠B′MD=∠B′NC=90°，
∴△B′MD≌△B′CN，
∴B′M=B′N=8，
∵AE=MG=3，
∴GB′=5，
在Rt△EGB′中，EG=$\sqrt{EB{′}^{2}-GB{′}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，
∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，
∴△EGB′∽△B′NF，
∴$\frac{EG}{B′N}$=$\frac{EB′}{FB′}$，
∴$\frac{12}{8}$=$\frac{13}{B′F}$，
∴BF=B′F=$\frac{26}{3}$．

（3）解：如图3中，

以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，
∴EC=$\sqrt{1{6}^{2}+1{3}^{2}}$=5$\sqrt{17}$，
∵△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，
∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，
∵CB′+EB′≥EC，
∴E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值为5$\sqrt{17}$-13．
∴△CFB′的周长的最小值为3+5$\sqrt{17}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用三边关系定理解决最值问题，属于中考压轴题．