Question

（1997•河北）已知：如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，弧AE=弧AC，ED交AB于点F．求证：PF•PO=PA•PB．

Answer 1

分析：连接OC、OE，先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论．

解答：证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，
∵

AE

=

AC

，
∴∠AOC=∠AOE
∴∠AOC=∠CDE
∴∠COP=∠PDF
∵∠P=∠P
∴△PDF∽△POC
∴

PD

PO

=

PF

PC

，
∴PF×PO=PD×PC
∵PA、PC是⊙O的两条割线，
∴×PD=PA×PB．
∴PF•PO=PA•PB．

点评：本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．