Question

如图，点A和点B分别在x轴和y轴上，且OA=OB=4，直线BC交x轴于点C，已知S_△BOC=S_△ABC，
（1）求直线BC的解析式；
（2）在直线BC上求作一点P，使四边形OBAP为平行四边形（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（3直线BC上是否存在点M，使△OAM为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据三角形BOC面积与三角形ABC面积相等，得到C为OA的中点，确定出C坐标，设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC解析式；
（2）以A为圆心，OB长为半径在第四象限画弧，以O为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P，利用两组对边相等的四边形为平行四边形得到ABOP为平行四边形；
（3）以A为圆心，OA长为半径画弧，与BC交于点M，以O为圆心，OA长为半径画弧，与CP交于M′，设M（x，y），利用两点间的距离公式列出方程，与直线BC解析式联立求出M坐标，同理求出M′坐标即可．

解答：解：（1）∵S_△BOC=S_△ABC，且两三角形同高，
∴OC=AC=

1

2

OA=2，
设直线BC解析式为y=kx+b，
将C（2，0）和B（0，4）代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：k=-2，b=4，
则直线BC解析式为y=-2x+4；
（2）如图所示：以A为圆心，OB长为半径在第四象限画弧，以O为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P，
则四边形ABOP为所求的平行四边形；
（3）直线BC上存在点M，使△OAM为等腰三角形，
以A为圆心，OA长为半径画弧，与BC交于点M，以O为圆心，OA长为半径画弧，与CP交于M′，如图所示，
设M（x，y），由AM=OA=4，得到

(x-4)2+y2

=4，即（x-4）²+y²=16，
与直线BC解析式联立得：

y=-2x+4 (x-4)2+y2=16

，
消去y得：5x²-24x+16=0，即（5x-4）（x-4）=0，
解得：x=

4

5

或x=4（不合题意，舍去），
将x=

4

5

代入得：y=-

8

5

+4=

12

5

，
此时M坐标为（

4

5

，

12

5

）；
以O为圆心，OA长为半径画弧，与CP交于M′，
设M′（m，n），由OM′=OA=4，得到m²+n²=16，
联立得：

n=-2m+4 m2+n2=16

，
消去n，整理得：m（5m-16）=0，
解得：m=

16

5

或m=0（不合题意，舍去），
将m=

16

5

代入得：n=-

12

5

，
此时M′（

16

5

，-

12

5

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．