Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃且S₁+S₃=4S₂，则CD=

 

AB．

Answer 1

分析：分别用斜边AD、AB、BC把S₁、S₂、S₃表示出来，然后根据S₁+S₃=4S₂求出AD、AB、BC之间的关系．在过点B作BK∥AD交CD于点K后，根据数据发现△KBC又是一个直角三角形，再次利用勾股定理即可发现CD和AB之间的关系．

解答：解：∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
其面积分别是S₁、S₂、S₃，
∴S₁=

AD2

4

，S₂=

AB2

4

，S₃=

BC2

4

∵S₁+S₃=4S₂，
∴AD²+BC²=4AB²
过点B作BK∥AD交CD于点K，
∵AB∥CD
∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC
∵∠ADC+∠BCD=90°
∴∠BKC+∠BCD=90°
∴BK²+BC²=CK²
∴AD²+BC²=CK²
∴CK²=4AB²
∴CK=2AB
∴CD=3AB．

点评：此题考查了等腰直角三角形的面积的求法，还考查了勾股定理，以及梯形的性质，特别要注意辅助线的作法．