Question

5．如图，△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD=BE=CF
（1）△ADF、△BED、△CFE相似吗？为什么？
（2）△DEF与△ABC相似吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）由△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD=BE=CF，可证得∠A=∠B=∠C=60°，BD=CE=AF，则可利用SAS判定△ADF≌△BED≌△CFE，即相似；
（2）由△ADF≌△BED≌△CFE，可证得△DEF是等边三角形，继而可得△DEF与△ABC相似．

解答 解：（1）△ADF、△BED、△CFE相似．
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF，
在△ADF和△BED和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE=CF}\\{∠A=∠B=∠C}\\{AF=BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴△ADF、△BED、△CFE相似；

（2）相似．
理由：∵△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DE=EF=DF，
即△DEF是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC．

点评 此题考查了相似三角形的判定与等边三角形的判定与性质．注意证得△ADF≌△BED≌△CFE是关键．