Question

已知：如图，⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：∠ODE=∠OED．

Answer 1

【答案】分析：连接OA并延长交BC于点F，根据三角形外心的性质可知AF是BC的垂直平分线，由于AB=AC，故∠BAF=∠CAF，OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，可得出Rt△AOD≌Rt△AOE，进而可得出结论．
解答：解：连接OA并延长交BC于点F，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴点O是△ABC的外心，
∵AB=AC，
∴AF是BC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠CAF，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD、OE分别是AB、AC的垂直平分线，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
在Rt△AOD与Rt△AOE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE，
∴OD=OE，
∴△ODE是等腰三角形，
∴∠ODE=∠OED．
点评：本题考查的是三角形外心的性质及等腰三角形的判定与性质，根据题意判断出△ODE是等腰三角形是解答此题的关键．