精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
已知:⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1的切线AC交⊙O2于点C.直线EF过点B交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.
(1)若直线EF交弦AC于点K时(如图1).求证:AE∥CF;
(2)若直线EF交弦AC的延长线于点时(如图2).求证:DA•DF=DC•DE;
(3)若直线EF交弦AC的反向延长线于点(在图3自作),试判断(1)、(2)中的结论是否成立并证明你的正确判断.
【答案】分析:(1)连接AB.根据弦切角定理和圆周角定理的推论,可以证明∠E=∠1=∠F,即可证明结论;
(2)根据弦切角定理、圆内接四边形的性质,证明平行线,再根据相似三角形的判定和性质求解;
(3)正确画出图形后,显然只需构造弦切角所夹的弧所对的圆周角,再结合圆周角定理的推论,即可证明平行,再根据相似三角形的判定和性质,即可证明.
解答:(1)证明:连接AB.

∵AC是⊙O1的切线,
∴∠E=∠1,
又∵∠F=∠1.
∴∠E=∠F.
∴AE∥CF.

(2)证明:连接AB.
∵AC是⊙O1的切线,
∴∠E=∠1,
又∵A、B、F、C在⊙O2上,
∴∠2=∠1.
∴∠E=∠2,
又∠D=∠D,
∴△ADE∽△CDF.

∴DA•DF=DC•DE.

(3)解:(1)(2)中的结论都成立.
证明:如图3.
∵∠C=∠B=∠DAE,
∴AE∥CF.
又∠D=∠D,
∴△ADE∽△CDF.

∴DA•DF=DC•DE.
点评:连接相交弦是相交两圆中常见的辅助线.综合运用了弦切角定理、圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质以及相似三角形的性质和判定.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

11、如图,已知:⊙O1与⊙O2是等圆,它们相交于A、B两点,O2在⊙O1上,AC是⊙O2的直径,直线CB交⊙O1于D,E为AB延长线上一点,连接DE.
(1)请你连接AD,证明:AD是⊙O1的直径;
(2)若∠E=60°,求证:DE是⊙O1的切线.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1的切线AC交⊙O2于点C.直线EF过点B交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.精英家教网
(1)若直线EF交弦AC于点K时(如图1).求证:AE∥CF;
(2)若直线EF交弦AC的延长线于点时(如图2).求证:DA•DF=DC•DE;
(3)若直线EF交弦AC的反向延长线于点(在图3自作),试判断(1)、(2)中的结论是否成立并证明你的正确判断.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知:⊙O1与⊙O2相交于点A、B,AC切⊙O2于点A,交⊙O1于点C.直线EF过点B,交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.
(1)设直线EF交线段AC于点D(如图1).
①若ED=12,DB=25,BF=11,求DA和DC的长;
②求证:AD•DE=CD•DF;
(2)当直线EF绕点B旋转交线段AC的延长线于点D时(如图2),试问AD•DE=CD•DF是否仍然成立?证明你的结论.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•青岛)已知,⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6,O1O2=2,则⊙O1与⊙O2的位置关系是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知圆O1与⊙O2外切,它们的圆心距为16cm,⊙O1的半径是12cm,则⊙O2的半径是
4
4
cm.

查看答案和解析>>

同步练习册答案