Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-1分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点C（3，n）．抛物线y=ax2+

3

2

x+c(a≠0)过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为-3．
（1）求该双曲线与抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P、Q两点的纵坐标都为-2，求线段PQ的长；
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．设线段MN的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点D的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线和双曲线解析式求出点P、Q的坐标，然后根据平行于x轴的直线上两点间的距离的求法求解即可；
（3）分点M在AB、BC、CD上三种情况，根据直线、抛物线和双曲线的解析式表示出d，再根据二次函数的增减性解答．

解答：解：（1）令y=0，则-x-1=0，
解得x=-1，
令x=0，则y=-1，
所以，点A（-1，0），B（0，-1），
x=3时，y=-3-1=-4，
所以，点C（3，-4），
设双曲线解析式为y=

k

x

（k≠0），
则

k

3

=-4，
解得k=-12，
所以，双曲线解析式为y=-

12

x

，
∵点D的纵坐标为-3，
∴-

12

x

=-3，
解得x=4，
∴点D（4，-3），
∵抛物线y=ax²+

3

2

x+c过点B、D，
∴

c=-1 16a+ 3 2 ×4+c=-3

，
解得

a=- 1 2 c=-1

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x-1；

（2）当y=-2时，-

1

2

x²+

3

2

x-1=-2，
整理得，x²-3x-2=0，
解得x₁=

3+ 17

2

，x₂=

3- 17

2

，
∴点P的坐标为（

3+ 17

2

，-2）或（

3- 17

2

，-2），
-

12

x

=-2，
解得x=6，
∴点Q的坐标为（6，-2），
∴PQ=6-

3+ 17

2

=

9- 17

2

或PQ=6-

3- 17

2

=

9+ 17

2

；

（3）①点M在AB上时，-1＜m＜0，
d=MN=（-m-1）-（-

1

2

m²+

3

2

m-1）=

1

2

m²-

5

2

m=

1

2

（m-

5

2

）²-

25

8

，
∴d随m的增大而减小，
②点M在BC上时，0＜m＜3，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m=-

1

2

（m-

5

2

）²+

25

8

，
∴m=

5

2

时，d有最大值为

25

8

，

5

2

＜m＜3时，d随m的增大而减小，
③点M在CD上时，3＜m＜4，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-

12

m

）=-

1

2

m²+

3

2

m+

12

m

-1，
由图可知，d随m的增大而减小，
综上所述，d的最大值是

25

8

，-1＜m＜0，

5

2

＜m＜3，3＜m＜4时，d随m的增大而减小．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，反比例函数解析式），二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，综合题，但难点不大，（2）要注意点P有两个，（3）要注意分情况讨论．